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日志

 
 

正半定矩阵性质和判定条件  

2012-03-03 17:46:27|  分类: 实用学习资料 |  标签: |举报 |字号 订阅

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定义:一个 n× n 的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 z,都有 z*Mz > 0,则称M为正定矩阵,其中z* 表示z的共轭转置。当 z*Mz > 0弱化为 z*Mz≥0时,称M是半正定矩阵。由于 M是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量 z,z*Mz必然是实数,从而可以与0比较大小。

正定矩阵相对应,一个 n× n 的埃尔米特矩阵M是负定矩阵, 当且仅当对非零的复向量 z 都有:z*Mz < 0.

具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax,如果对任何非零向量 x,都有 x'Ax≥0(或x’Ax≤0)成立,且有非零向量 x0,使 x0'Ax0=0,则称 f 为半正定(半负定)二次项,矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵)
判定一个矩阵半正定
  1、对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
  2、半正定矩阵:设 A 是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵 X 有 XTAX≥0,就称 A 为半正定矩阵。
  3、A∈Mn(K)是半正定矩阵的充要条件是:A 的所有主子式大于或等于零。

设A∈Mn(R)是实对称矩阵,则下列条件等价:

(1) A是半正定的

(2) A的正惯性指数 p 等于它的秩 r

(3) 存在可逆矩阵T∈GL(n,R),使得T'AT=[ Er  0;  0 0]

(4) 存在实矩阵S∈Mn(R),使得A=S'S

(5) A的所有主子式都大于或等于0

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